Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC為直徑的圓O交AC于點D，連接OD，并延長交BA的延長線于點E，圓O的切線DF交EB于F
（Ⅰ）證明：AF=BF；
（Ⅱ）若ED=8，，求OC的長．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵BC為圓O的直徑，DF為圓O的切線
∴DF=BF，DF⊥OD
∴∠ODC+∠ADF=90°
∵∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°
∵OD=OC，∴∠ODC=∠C
∴∠ADF=∠BAC
∴AF=DF
∵DF=BF，∴AF=BF；
（Ⅱ）解：在直角△EBO中，∵，
∴
∵ED=8，
∴
∴OC=32
分析：（Ⅰ）利用BC為圓O的直徑，DF為圓O的切線，可得DF=BF，DF⊥OD，再證明∠ADF=∠BAC，從而AF=DF，故可證AF=BF；
（Ⅱ）在直角△EBO中，利用，即可求得OC的長．
點評：本題是選考題，考查圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圓的切線性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．