Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0時(shí)，f（x）＞0，f（1）=-3．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）求函數(shù)f（x）在[-4，4]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），變形可得f（0）的值；在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，變形可得f（x）+f（-x）=f（0），由①的結(jié)論，即可得證；
（2）設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，結(jié)合（1）的結(jié)論，有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）成立，結(jié)合題意，可得f（x）為減函數(shù)；
（3）即可得f（x）在[-4，4]上的最大值與最小值分別為f（-4）、f（4），借助f（x+y）=f（x）+f（y）與f（1）的值，可得f（4）、f（-4）的值，即可得答案．

解答： （1）證明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），
變形可得f（0）=0，
因?yàn)閤，y∈R時(shí)，f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）解：f（x）為R上的減函數(shù)．
理由如下：設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）
=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
因?yàn)閤＜0時(shí)f（x）＞0，所以f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）為減函數(shù)．
（3）解：由于f（x）為減函數(shù)．
所以f（x）在[-4，4]上的最大值為f（-4），最小值為f（4）．
因?yàn)閒（4）=2f（2）=4f（1）=-12，f（-4）=-f（4）=12，
所以函數(shù)在[-4，4]上的最大值為12，最小值為-12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y），運(yùn)用特殊值法，分析得到函數(shù)f（x）的性質(zhì)以及函數(shù)值．