Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，EF⊥PB．
（I）求證：PA∥平面BDE；
（II）求證：PB⊥平面DEF．

Answer 1

分析：（I）連接AC，AC交BD于點(diǎn)G，連接EG．利用題設(shè)條件和中位線定理，推導(dǎo)出EG∥PA．由此能夠證明PA∥平面EDB
（II）由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BC，由BC⊥DC，知BC⊥平面PDC．再由三垂線定理推導(dǎo)出DE⊥PB．由此能夠證明PB⊥平面DEF．

解答：（I）證明：如圖，連接AC，AC交BD于點(diǎn)G，連接EG．
∵底面ABCD是正方形，
∴G為AC的中點(diǎn)．
又E為PC的中點(diǎn)，
∴EG∥PA．
∵EG?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB
（II）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，PD⊥DC，PD⊥DB
又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
∴PC是PB在平面PDC內(nèi)的射影．
∵PD⊥DC，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
∴DE⊥PC．
由三垂線定理知，DE⊥PB．
∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面DEF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中位線定理和三垂線定理的合理運(yùn)用．