Question

（本小題滿分14分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；

（3）設(shè)的前n項(xiàng)和為An，是否存在最小正整數(shù)m，使得不等式An<m對(duì)任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2），（3）存在最小正整數(shù)

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)時(shí)，可求得，當(dāng) 時(shí)，利用可求，注意驗(yàn)證是否符合；

（2）由(1)可知，利用錯(cuò)位相減法即可求得Tn

（3）由（1）（2）可得，化簡(jiǎn)得，

考慮裂項(xiàng)相消法可得，可求得，由題

不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則

試題解析：(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，，相減得

又， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，所以

所以

兩式相減得，

所以(或?qū)懗?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706032495788475/SYS201503170603570996622273_DA/SYS201503170603570996622273_DA.031.png">，均可)

（Ⅲ）=

所以

若不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則，

所以存在最小正整數(shù)，使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立

考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，恒成立問題