Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x．
（1）若函數y=f（x）-g（x）在區(qū)間（

1

3

，1）上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）設函數f（x）的圖象C1與函數g（x）的圖象C2交于P、Q兩點，過線段PQ的中點作X軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明：C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不可能平行．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）要使函數y=f（x）-g（x）在區(qū)間（

1

3

，1）上單調遞減，只要y'≤0恒成立，運用參數分離和配方求函數的最值，即可求a的取值范圍；
（2）利用反證法證明設點P、Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行．求出函數的導數，求得切線的斜率，通過構造函數，求導數判斷單調性，結論即可得證．

解答： （1）解：∵y=f（x）-g（x）=lnx-（

1

2

ax²-2x），
y'=

1

x

-ax+2，
∴函數y=f（x）-g（x）在區(qū)間（

1

3

，1）上單調遞減，
則

1

x

-ax+2≤0恒成立，
即ax≥

1

x

+2成立，
∴a≥

1

x2

+

2

x

，
設g（x）=

1

x2

+

2

x

，
則g（x）=（1+

1

x

）²-1，
∵x∈（

1

3

，1），∴

1

x

∈（1，3），
∴g（x）∈（3，15），
∴a≥15；
（2）證明：設點P、Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標為x=

x1+x2

2

，
函數f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x．導數f′（x）=

1

x

，g′（x）=ax-2，
則C₁在點M處的切線斜率為k₁=

1

x

，x=

x1+x2

2

，k₁=

2

x1+x2

，
C₂在點N處的切線斜率為k₂=ax-2，x=

x1+x2

2

，k₂=a•

x1+x2

2

-2．
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，
則k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=a•

x1+x2

2

-2，
則

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

（x₂²-x₁²）-2（x₂-x₁）
=（

a

2

x₂²-2x₂）-（

a

2

x₁²-2x₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁．
∴l(xiāng)n

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．
設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令r（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
則r′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
∵t＞1時，r'（t）＞0，
∴r（t）在[1，+∞）上單調遞增．
故r（t）＞r（1）=0．
則lnt＞

2(t-1)

1+t

．這與①矛盾，假設不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，考查導數是運算，以及利用導數研究函數的性質，綜合性較強，運算量較大，考查學生的運算能力．