Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），判斷方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

在區(qū)間（x₁，x₂） 內(nèi)是否有實(shí)根，并說明理由；
（2）若b=c=1且x∈（-∞，1]時(shí)有f（2^x）＞0，求a的取值范圍；
（3）若a＞b＞c且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn)，并求兩交點(diǎn)間距離的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，則可得 g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f(x2)-f(x1)]2＜0，再由g（x）得圖象是連續(xù)的，可得g（x）在區(qū)間（x₁，x₂） 內(nèi)必有零點(diǎn)，即 f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

在區(qū)間（x₁，x₂） 內(nèi)必有實(shí)數(shù)根．
（2）由題意可得 a＞-(

1

2

)x-(

1

4

)x在區(qū)間（-∞，1]上恒成立，函數(shù)t=-(

1

2

)x-(

1

4

)x在區(qū)間（-∞，1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)t有最大值為-

3

4

，故有a＞-

3

4

，且a≠0．
（3）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的判別式△大于零，f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn)，由條件求得-2＜

c

a

＜-

1

2

，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出|x₁-x₂|=

(x1+ x2)2-4x1x2

的范圍，即為所求．

解答：解：（1）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，則 g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x2) - f(x1)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x2) - f(x1)

2

，
∴g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f(x2)-f(x1)]2＜0．
再由g（x）得圖象是連續(xù)的，可得g（x）在區(qū)間（x₁，x₂） 內(nèi)必有零點(diǎn)，即 f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

在區(qū)間（x₁，x₂） 內(nèi)必有實(shí)數(shù)根．
（2）若b=c=1且x∈（-∞，1]時(shí)有f（2^x）＞0，故a4^x+2^x-1＞0在區(qū)間（-∞，1]上恒成立，即a＞-(

1

2

)x-(

1

4

)x在區(qū)間（-∞，1]上恒成立．
而函數(shù)t=-(

1

2

)x-(

1

4

)x在區(qū)間（-∞，1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)t有最大值為-

3

4

，∴a＞-

3

4

，且a≠0．
故a的取值范圍是（-

3

4

，0）∪（0，+∞）．
（3）證明：∵a＞b＞c且f（1）=0，∴a-b-c=0，a＞0，c＜0，∴判別式△=b²-4ac=（a-c）²＞0，
f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn)，設(shè)f（x）=0的兩個(gè)根分別為 x₁ 和 x₂，則 x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
又由上可得 a＞-a-c，

c

a

＜-1-

c

a

＜1，故有-2＜

c

a

＜-

1

2

．
|x₁-x₂|=

(x1+ x2)2-4x1x2

=

b2 a2 -  4c a

=

(a-c)2 a2

=1-

c

a

．
再由 

3

2

＜1-

c

a

＜3，可得 

3

2

＜|x₁-x₂|＜3，故兩交點(diǎn)間距離的取值范圍為（

3

2

，3）．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．