Question

已知函數f（x）=x²+（a-2）x-2a+4，g（x）=3x²+ax-2a．
（1）若函數f（x）為偶函數，求函數g（x）在[-a，a+2]上的值域；
（2）若存在x∈[-3，1]，使得f（x）+g（x）＞0成立，求a的取值范圍；
（3）若函數h（x）=

f(x)

g(x)

在定義域內的值恒為正數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）為偶函數即可求得a=2，從而求g（x）=3x²+2x-4在[-2，4]上的值域即可；
（2）根據已知條件設F（x）=2x²+（a-1）x-2a+2，從而得到F（-3）＞0，或F（1）＞0，解不等式即得a的取值范圍；
（3）根據該問的條件知，對于f（x）的判別式△=（a-2）（a+6），和g（x）的判別式△=a²+24需滿足

a2+24≤0 (a-2)(a+6)＜0

，解不等式組即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）若f（x）為偶函數，則：
f（-x）=x²-（a-2）x-2a+4=x²+（a-2）x-2a+4；
∴a=2；
∴g（x）=3x²+2x-4，[-a，a+2]=[-2，4]；
g（x）的對稱軸為x=-

1

3

，則g（4）＞g（-2）；
∴g（x）的最小值為g（-

1

3

）=-

13

3

，最大值為g（4）=52；
∴g（x）在[-2，4]上的值域為[-

13

3

，52]；
（2）由f（x）+g（x）＞0得，2x²+（a-1）x-2a+2＞0；
∴該不等式在[-3，1]上有解；
設F（x）=2x²+（a-1）x-2a+2，則：
F（-3）＞0，或F（1）＞0；
∴23-5a＞0，或3-a＞0；
解得a＜3；
∴a的取值范圍為（-∞，3）；
（3）由

f(x)

g(x)

＞0得，

f(x)＞0 g(x)＞0

，或

f(x)＜0 g(x)＜0

；
而h（x）的定義域為不等式g（x）＞0，或g（x）＜0的解集；
對于g（x），△=a²+24；對于f（x），△=（a-2）（a+6）；
∴要使在h（x）的定義域內，

f(x)

g(x)

＞0恒成立，則：

a2+24≤0 (a-2)(a+6)＜0

，解得-6＜a≤0；
∴a的取值范圍為（-6，0]．

點評：考查偶函數的定義，以及通過求二次函數在閉區(qū)間上的最值得到二次函數的值域的方法，熟練掌握并會應用二次函數的圖象，當二次函數的判別式小于或小于等于0時二次函數的符號如何．