Question

某商店投入81萬元經(jīng)銷某種濟(jì)南全運(yùn)會(huì)特許紀(jì)念品，經(jīng)銷時(shí)間共60天，市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第幾天的利潤an=

1 1 10 n

(1≤n≤20) (21≤n≤60)

（單位：萬元，n∈N*）為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得利潤投入到次日的經(jīng)營中，記第n天的利潤bn=

第n天的利潤

這幾天的投入資金總和

，例如：b3=

a3

81+a1+a2

．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值；
（Ⅱ）求第幾天的利潤率b_n；
（Ⅲ）該商店的經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤最大？并求該日的利潤率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照bn的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
（Ⅱ）按照bn的表達(dá)式進(jìn)行代入數(shù)值求解，注意分子、分母表達(dá)式的變化，需對(duì)n進(jìn)行分類討論．
（Ⅲ）利用數(shù)列的單調(diào)性及均值不等式法去求bn的最大值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，b1=

1

81

；當(dāng)n=2時(shí)，b2=

1

82

，
（Ⅱ）當(dāng)1≤n≤20時(shí)，a₁=a₂=a₃=…=a_n-1=a_n=1．
∴bn=

an

81+a1+a2+…+an-1

=

1

80+n-1

=

1

n+80

．
當(dāng)21≤n≤60時(shí)，bn=

an

81+a1+…+a20+a21+…+an-1

=

1 10 n

81+20+a21+…+an-1

1 10 n

101+ (n-21)(n+20) 20

=

2n

n2-n+1600

∴第n天的利潤率bn=

1 n+80 1≤n≤20(n∈N*) 2n n2-n+1600 21≤n≤60(n∈N*)

（Ⅲ）當(dāng)1≤n≤20時(shí)，bn=

1

n+80

是遞減數(shù)列，此時(shí)b_n的最大值為b1=

1

81

；
當(dāng)21≤n≤60時(shí)，bn=

2n

n2-n+1600

=

2

n+ 1600 n -1

≤

2

2 1600 -1

=

2

79

，
（當(dāng)且僅當(dāng)n=

1600

n

，即n=40時(shí)，“=”成立）                        
又∵

2

79

＞

1

81

∴當(dāng)n=40時(shí)，(bn)max=

2

79

．
∴該商店經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤率最大，且該日利潤為

2

79

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論思想的運(yùn)用