分析:(1)先判斷數(shù)列{a
n}是遞增數(shù)列,可得a
3<a
7.利用a
3,a
7是方程x
2-18x+65=0的兩根,即可求得公差
d==2,從而可求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;由S
n=1-b
n得,當(dāng)n=1時,
b1=,當(dāng)n≥2時,b
n=S
n-S
n-1,即可求數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)得
cn=,
Tn=+++…++,利用錯位相減法求和,即可證得.
解答:(1)解:由a
3+a
7=2a
5<2a
6得a
5<a
6,所以數(shù)列{a
n}是遞增數(shù)列.…(1分)
所以a
3<a
7.由x
2-18x+65=0解得a
3=5,a
7=13…(2分)
公差
d==2,所以a
n=a
3+(n-3)d=2n-1(n∈N
*)…(3分)
由S
n=1-b
n得,當(dāng)n=1時,
b1=;…(4分)
當(dāng)n≥2時,b
n=S
n-S
n-1,得
bn=bn-1…(5分)
所以{b
n}是首項(xiàng)為
,公比為
的等比數(shù)列,所以
bn=(n∈N*)…(6分)
(2)證明:由(1)得
cn=,
Tn=+++…++…(7分)
所以由錯位相減法得
Tn=3-<3…(9分)
因?yàn)?span id="famfpju" class="MathJye">
Tn+1-
Tn=3-
-3+
=
>0
所以{T
n}是遞增數(shù)列,所以
Tn≥T1=故
≤Tn<3…(13分)
點(diǎn)評:本題考查根與系數(shù)的關(guān)系,考查數(shù)列的通項(xiàng)的求解,考查數(shù)列的求和與不等式的證明,解題的關(guān)鍵是正確求出數(shù)列的通項(xiàng).