Question

設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）求f (x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，不等式f (x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f (x)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（-1, 0）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式f (x)<m恒成立.（Ⅲ）a的取值范圍是

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1, +∞）.…………………………………………… 1分
∵, 
由，得x>0；由，得.…………………3分
∴f (x)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（-1, 0）.………………… 4分
（Ⅱ）∵由，得x=0,x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f (x)在上遞減，在上遞增. 
高三數(shù)學(xué)（理科）答案第3頁（共6頁）
又，, 且.
∴當(dāng)時(shí)，f (x)的最大值為.
故當(dāng)時(shí)，不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分
（Ⅲ）方程, .
記,
∵,  
由,得x>1或x<-1（舍去）.  由, 得.
∴g(x)在[0,1]上遞減, 在[1,2]上遞增.
為使方程在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，
只須g(x)=0在[0,1]和上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有
∵, 
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.