(2008•廣州一模)已知數(shù)列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N+
(1)求a2,a3的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{
an2n
}
為等差數(shù)列,若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)直接把n=3,2代入an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),再借助于a1=5,即可求出數(shù)列的a2,a3的值;
(2)先假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ符合題意,得到
an
2n
-
an-1
2n-1
必為與n無(wú)關(guān)的常數(shù),整理
an
2n
-
an-1
2n-1
即可求出實(shí)數(shù)λ,進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解答:解:(1)由an=2an-1+2n-1(n≥2)⇒a2=2a1+22-1=13⇒a2=13,
同理可得a3=33,(3分)
(2)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ符合題意,則
an
2n
-
an-1
2n-1
必為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)
an
2n
-
an-1
2n-1
=
an-2an-1
2n
=
2n-1-λ
2n
=1-
1+λ
2n
(5分)
要使
an
2n
-
an-1
2n-1
是與n無(wú)關(guān)的常數(shù),則
1+λ
2n
=0
,得λ=-1
故存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ=-1,使得數(shù)列 {
an
2n
}
為等差數(shù)列(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等差關(guān)系的確定.解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于由數(shù)列 {
an
2n
}
為等差數(shù)列,得到
an
2n
-
an-1
2n-1
必為與n無(wú)關(guān)的常數(shù),進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)λ的值.
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4
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