Question

如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e=．過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓E的方程．
（Ⅱ）由，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x，y），可得m≠0，△=0，進(jìn)而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），再進(jìn)行證明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=，∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓E的方程為．
（Ⅱ）由，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∵動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x，y）
∴m≠0，△=0，∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0
∴4k²-m²+3=0①
此時(shí)x==，y=，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此時(shí)P（0，），Q（4，），以PQ為直徑的圓為（x-2）²+（y-）²=4，交x軸于點(diǎn)M₁（1，0）或M₂（3，0）
取k=，m=2，此時(shí)P（1，），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x-）²+（y-）²=，交x軸于點(diǎn)M₃（1，0）或M₄（4，0）
故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），證明如下
∵
∴
故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)M（1，0）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．