Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），其中a＞0且a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性，并證明；
（3）若f（x）＞g（x），求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得 ，由此求得x的范圍，即為函數(shù)的定義域．
（2）設(shè)F（x）=f（x）+g（x），根據(jù)它的定義域（-1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且（-x）=F（x），得F（x）為偶函數(shù)
（3）分a＞1和0＜a＜1兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，分別求出x的取值范圍．
解答：解：（1）由題意可得 ，即 ，解得-1＜x＜1，
所以定義域?yàn)椋海?1，1）．-----（4分）
（2）設(shè)F（x）=f（x）+g（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x），由于F（x）的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
而且 F（-x）=log_a（1+x）+log_a（1-x）=F（x），
所以，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)．------（8分）
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，由log_a（1-x）＞log_a（1+x），可得 1-x＞1+x，x＜0，所以-1＜x＜0．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由log_a（1-x）＞log_a（1+x），可得1-x＜1+x，x＞0，所以0＜x＜1．
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，x的取值范圍為（-1，0）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍為（0，1 ）．-------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．