Question

已知圓C₁的方程為(x－2)²+(y－1)²=，橢圓C₂的方程為，C₂的離心率為，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，試求：

  （I）直線AB的方程；          

  （II）橢圓C₂的方程.

Answer 1

（I）由e=，得=，a²=2c²,b²=c²。                      

 設(shè)橢圓方程為+=1。又設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。由圓心為(2,1)，得x₁+x₂=4,y₁+y₂=2。

 又+=1，+=1，兩式相減，得 +=0。

 ∴                                       

∴直線AB的方程為y－1= －(x－2)，即y= －x+3。         

（II）將y= －x+3代入+=1，得3x²－12x+18－2b²=0

 又直線AB與橢圓C₂相交，∴Δ=24b²－72>0。             

 由|AB|=|x₁－x₂|==,

 得·=。

解得  b²=8，                                          .

故所求橢圓方程為+=1                            .