Question

若關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m-3）x+1=0至少有一個正根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：要使一元二次方程成立，首先m≠0（否則成了一元一次方程）．要使方程有解必須：△=（3-m）²-4m≥0，即：m≥9，或m≤1，再分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：要使一元二次方程成立，首先m≠0（否則成了一元一次方程）．
要使方程有解必須：△=（3-m）²-4m≥0，即：m≥9，或m≤1．
當(dāng)m≥9時，要使x有正解，則（3-m）+

△

＞0，但無解；
當(dāng)m≤1，且m≠0，分兩種情況：
（1）①當(dāng)0＜m≤1時，（3-m）+

△

＞0，成立；
②（3-m）-

△

＞0，解得：m＞0，
∴當(dāng)0＜m≤1時，x一定有正解；
（2）當(dāng)m＜0時，x的解中分母2m＜0，那么分子至少有一個解為負數(shù)，同理可得當(dāng)m＜0時，正好x只有一個正解．
因此，當(dāng)m≤1且m≠0時，x至少有一個正解．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．