Question

（2013•南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A(

a

2

，

a

2

)，B(

3

，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C上，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線l的方程為x₀x+3y₀y-6=0．
①求證：直線l與橢圓C有唯一的公共點(diǎn)；
②若點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求證：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把A，B的坐標(biāo)代人橢圓的方程即可解得a²，b²；
（2）①把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，證明△=0即可；
②把直線l的方程為x₀x+3y₀y-6=0與過點(diǎn)F且與直線l垂直的方程為3y₀x-x₀y+6y₀=0聯(lián)立即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到其對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)，得到直線PQ的方程即可證明．

解答：解：（1）由題意得

( a 2 )2 a2 + ( a 2 )2 b2 =1 3 a2 + 1 b2 =1

解得

a2=6 b2=2

所以所求橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）聯(lián)立

x2 6 + y2 2 =1 x0x+3y0y-6=0

，消去y得(

x

2 0

+3

y

2 0

)x2-12x0x+36-18

y

2 0

=0（*）
由于點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C上，∴

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，化為3

y

2 0

=6-

x

2 0

．
故（*）可化為x2-2x0x+

x

2 0

=0．
∵△=(-2x0)2-4

x

2 0

=0．
所以方程組僅有一組解（x₀，y₀），即直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)．
②點(diǎn)F（-2，0），過點(diǎn)F且與直線l垂直的方程為3y₀x-x₀y+6y₀=0．
解方程

x0x+3y0y-6=0 3x0x-x0y+6y0=0

，得

x= 6x0-18 y 2 0 x 2 0 +9 y 2 0 y= 18y0+6x0y0 x 2 0 +9 y 2 0

，
因?yàn)镻（x₀，y₀）在橢圓

x2

6

+

y2

2

=1，∴3

y

2 0

=6-

x

2 0

，所以解即為

x= 3x0-6 3-x0 y= 3y0 3-x0

．
所以點(diǎn)F（-2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(

4x0-6

3-x0

，

6y0

3-x0

)．
當(dāng)x₀≠2時(shí)，kPQ=

6y0 3-x0 -y0

4x0-6 3-x0 -x0

=

y0

x0-2

．
所以直線PQ的方程為y-y0=

y0

x0-2

(x-x0)．
即（x-2）y₀-yx₀+2y=0．
∴

x-2=0 y=0

，即直線過定點(diǎn)M（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、軸對(duì)稱、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線過定點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．