Question

已知橢圓和動(dòng)圓，直線：與和分別有唯一的公共點(diǎn)和．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）求的最大值，并求此時(shí)圓的方程．

 

Answer 1

（Ⅰ）[1，2）（Ⅱ）1，x2+y2=2

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去整理成關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橹本�與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則判別式為0，列出關(guān)于m，k的方程，再由直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)知，直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑找出r,m,k關(guān)系，將這兩個(gè)關(guān)于m,k的方程聯(lián)立，消去m，將r表示成k的函數(shù)，利用函數(shù)求值域的方法，求出r范圍；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式將AB用r表示出來(lái)，利用函數(shù)求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值時(shí)的r值，從而寫(xiě)出圓的方程.

試題解析：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

由于l與C1有唯一的公共點(diǎn)A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0， 2分

從而m2=1+4k2 ①

由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．

由于l與C2有唯一的公共點(diǎn)B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0， 4分

從而m2=r2（1+k2） ②

由①、②得k2=．

由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范圍是[1，2）． 6分

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知

x1=﹣=﹣，x2=﹣=﹣．

|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）•=•k2•（4﹣r2）2

=•（4﹣r2）2=， 9分

所以|AB|2=5﹣（r2+）（1≤r＜2）．

因?yàn)閞2+≥2×2=4，當(dāng)且僅當(dāng)r=時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)r=時(shí)，|AB|取最大值1，此時(shí)C2的方程為x2+y2=2． 12分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化與化歸思想，運(yùn)算求解能力