Question

（2012•山西模擬）定義域[-1，1]的奇函數f（x）滿足f（x）=f（x-2），且當x∈（0，1）時，f(x)=2x+

x

．   
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用奇函數的定義，求f（x）在（-1，0）上的解析式，再利用抽象表達式f（x）=f（x-2），求f（1）和f（-1）的值，即可得f（x）在定義域上的解析式；
（2）先利用導數證明函數f（x）在（0，1）上的單調性，再利用對稱性證明函數在（-1，1）上的單調性，最后利用單調性和對稱性求函數的值域即可

解答：解：（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），則f（-x）=-2x+

-x

∵f（x）為[-1，1]的奇函數，∴f（-x）=-f（x）'
∴f（x）=2x-

-x

又∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）
∴f（-1）=0，f（1）=0
∴f（x）=

2x- -x    x∈ (-1，0) 0              x=0，±1 2x+ x    x∈(0，1)

（2）∵x∈（0，1）時，f(x)=2x+

x

．  
∴f′（x）=2+

1

2 x

＞0
∴f（x）在（0，1）上為增函數，f（x）∈（0，3）
∵f（x）為[-1，1]的奇函數，
∴f（x）在（-1，1）上為增函數
∴當x∈（-1，1）時，f（x）∈（-3，3），f（±1）=0
∴函數f（x）的值域為（-3，3）

點評：本題主要考查了函數奇偶性的定義及其運用，利用函數的奇偶性求函數解析式的方法，利用函數的奇偶性判斷函數的單調性，利用單調性求函數值域的方法