Question

對于函數(shù)f(x)=

x-1

x+1

，設(shè)f2(x)=f[f(x)]，f3(x)=f[f2(x)]，…，fn+1(x)=f[fn(x)]（n∈N*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₇（x）=x，x∈R}，則集合M=

 

．

Answer 1

分析：由f(x)=

x-1

x+1

，設(shè)f2(x)=f[f(x)]，f3(x)=f[f2(x)]，…，fn+1(x)=f[fn(x)]，代入驗證知具有周期性，周期為4，因此f₂₀₀₇（x）=f₃（x）=-

x+1

x-1

，解方程x=-

x+1

x-1

，即可求得集合M．

解答：解：∵f(x)=

x-1

x+1

，f₂（x）=f[f（x）]，
∴f₂（x）=f[f（x）]=-

1

x

，f₃（x）=f[f₂（x）]=-

x+1

x-1

，
f₄（x）=f[f₃（x）]=x，f₅（x）=f[f₄（x）]=

x-1

x+1

，
因此f₂₀₀₇（x）=f₃（x）=-

x+1

x-1

，
解x=-

x+1

x-1

，的x∈∅．
故答案為∅．

點評：此題是個基礎(chǔ)題．考查函數(shù)的對應(yīng)法則和周期性的，用列舉法探討對應(yīng)法則的周期性，考查了創(chuàng)造性分析解決問題的能力．