Question

如圖所示，在一個(gè)（2n-1）×（2n-1）（n∈N且n≥2）的正方形網(wǎng)格內(nèi)涂色，要求兩條對(duì)角線的網(wǎng)格涂黑色，其余網(wǎng)格涂白色．若用f（n）表示涂白色網(wǎng)格的個(gè)數(shù)與涂黑色網(wǎng)格的個(gè)數(shù)的比值，則f（n）的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：網(wǎng)格型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：只要數(shù)對(duì)角線上共有多小個(gè)小方格即可，注意兩條對(duì)角線在正方形中心處有一個(gè)小方格是重合的．

解答： 解：由題意知在（2n-1）×（2n-1）（n∈N且n≥2）的正方形網(wǎng)格內(nèi)對(duì)角線共2（2n-1）-1=4n-3個(gè)，即共有（4n-3）個(gè)方格涂黑色，余下的方格都涂白色，
∴f（n）=

(2n-1)2-(4n-3)

4n-3

，
∴f（n）=

4n2-8n+4

4n-3

=

1

4

•

16n2-32n+16

4n-3

=

1

4

•

(4n-3)2-2(4n-3)+1

4n-3

=

1

4

•[（4n-3）+

1

4n-3

-2]
令t=

1

4n-3

，
∵n≥2，∴t∈（0，

1

5

]，又y=

1

4

（t+

1

t

-2）在t∈（0，

1

5

]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=

1

5

，即n=2時(shí)，有最小值，f（2）=

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)函數(shù)的應(yīng)用題，理解題意是前提，算出對(duì)角線上小方格個(gè)數(shù)是關(guān)鍵，建立函數(shù)關(guān)系式，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性就可以求出函數(shù)最小值．