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(1) |
解析:設(shè)g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且a>0.∵xl<1<x2 ∴(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2<(x1+x2)-1. 于是x=m=-==(x1+x2)-x1x2>(x1+x2)-[(x1+x2)-1]=. |
(2) |
由方程g(x)=ax2+(b-1)x+1=0,可知x1x2=>0,∴xl、x2同號(hào).由0<x1<2,得x2-x1=2,∴x2=x1+2>2,∴g(2)<0. 即4a+2b-1<0.、 又(x2-x1)2=-=4 ∴2a+1=(∵a>0),代入①式,得2<3-2b,解得b<. |
(3) |
由條件得,x1+x2=,x1x2=. 不妨設(shè)α=β,則0>2(α+x1)(β-x2)=2αβ-2(βx1-ax2)+2x1x2=2αβ-(x1+x2)(α+β)+2x1x2+(x1-x2)(α-β)>2αβ-(x1+x2)(α+β)+2x1x2=2αβ-+ 故2aαβ-(1-b)(α+β)+2<0. 點(diǎn)評(píng):二次函數(shù)、二次方程、二次不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)內(nèi)容.本例通過三個(gè)“二次”間的相互聯(lián)系,利用數(shù)形結(jié)合將對(duì)稱軸x=m=-==(x1+x2)-x1x2與韋達(dá)定理相結(jié)合,從而得出m的取值范圍;由二次方程的根的分布得出一組關(guān)于字母b的不等式;由不等式的基本性質(zhì)結(jié)合目標(biāo)函數(shù)“2aαβ-(1-b)(α+β)+2<0”展開推理. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:福建省南安一中2011-2012學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 題型:044
對(duì)于函數(shù)f(x)=a-(a∈R):
(Ⅰ)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
(Ⅱ)探究函數(shù)f(x)的單調(diào)性(不用證明),并求出函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:中山市東升高中2008屆高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1 題型:044
對(duì)于函數(shù)f(x)=a-(aÎ R):
(1)探索函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省臺(tái)州市四校2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文科試題 題型:044
對(duì)于函數(shù)f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2,其中a為實(shí)常數(shù),已知函數(shù)
y=f(x)的圖象在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線與y軸垂直.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(3x)=m有三個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義,對(duì)于給定的正數(shù)K,定義函數(shù):fK(x)=取函數(shù)f(x)=a-|x|(a>1).當(dāng)K=時(shí),函數(shù)fK(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞減的是( )
A.(-∞,0) B.(-a,+∞)
C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
“我們稱使f(x)=0的x為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的、單調(diào)的函數(shù),且滿足f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有唯一的零點(diǎn)”.對(duì)于函數(shù)f(x)=6ln(x+1)-x2+2x-1.
(1)討論函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性,并求出函數(shù)極值;
(2)證明連續(xù)函數(shù)f(x)在[2,+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).
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