Question

已知一動(dòng)圓P與圓M₁：（x+4）²+y²=25和圓M₂：（x-4）²+y²=1均外切（其中M₁、M₂分別為圓M₁和圓M₂的圓心）．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)M₂的直線l與曲線E有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求|AM₁|•|BM₁|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）動(dòng)圓P的半徑為r，運(yùn)用兩圓外切的條件，結(jié)合雙曲線的第一定義，即可得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-4），聯(lián)立雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，化簡(jiǎn)即可得到k²＞3．再由雙曲線的第二定義，即可得到|AM₁|•|BM₁|＞100，再討論斜率不存在，則有|AM₁|•|BM₁|=100，進(jìn)而得到取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）動(dòng)圓P的半徑為r，則|PM₁|=5+r，|PM₂|=1+r，
|PM₁|-|PM₂|=4＜|M₁M₂|，
故點(diǎn)P的軌跡E是以M₁，M₂為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．
設(shè)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（x≥a），
知2a=4，2c=8，所以a=2，c=4，b²=c²-a²=12，
故軌跡E的方程為

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-4），
聯(lián)立方程組

y=k(x-4) 3x2-y2=12

消去y，得（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁≥2，x₂≥2，
且

3-k2≠0 △=64k4+4(3-k2)(16k2+12)＞0 x1+x2=- 8k2 3-k2 ＞0 x1x2= -16k2-12 3-k2 ＞0

解得k²＞3．
雙曲線左準(zhǔn)線方程為x=-1．離心率e=2，
根據(jù)雙曲線第二定義，有

|AM1|

x1+1

=

|BM1|

x2+1

=2，
∴|AM₁|•|BM₁|=2（x₁+1）×2（x₂+1）=4（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=4（

-16k2-12

3-k2

-

8k2

3-k2

+1）=4×

25k2+9

k2-3

=4（25+

84

k2-3

）＞100，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易求得|AM₁|•|BM₁|=100
故|AM₁|•|BM₁|∈[100，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式，考查雙曲線的第二定義及運(yùn)用，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．