Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx（b為常數(shù)）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與g（x）的圖象相切，求實數(shù)b的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)b 的取值范圍；
（3）若b＞1，對于區(qū)間[1，2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）=lnx得f′（x）=

1

x

，
函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=1，切線方程為：y-0=x-1即y=x-1．
由已知得它與g（x）的圖象相切，將y=x-1代入得x-1=

1

2

x²-bx，即

1

2

x²-（b+1）x+1=0，
∴△=（b+1）²-2=0，解得b=±

2

-1，
即實數(shù)b的值為±

2

-1．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x²-bx，
∴h′（x）=

1

x

+x-b，
根據(jù)函數(shù)h（x）在定義域（0，+∞）上存在單調(diào)減區(qū)間，
∴存在x＞0，使得

1

x

+x-b＜0，即b＞

1

x

+x，
由于當(dāng)x＞0時，

1

x

+x≥2，
∴b＞2．
∴實數(shù)b 的取值范圍（2，+∞）．
（3）對于區(qū)間[1，2]上的任意實數(shù)x，f′（x）=

1

x

∈[

1

2

，1]．
g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，
要使得對于區(qū)間[1，2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，
若用注意到f（x）是增函數(shù)，不妨設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），問題轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|
等價于-f（x₁）+f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）從而f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）且f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
即f（x）-g（x）與f（x）+g（x）都是增函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)的幾何是切線的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，
即

1

x

＞|b-x|，于是x-

1

x

≤b≤x+

1

x

即（x-

1

x

）_max≤b≤（x+

1

x

）_min
∴

3

2

≤b≤2．
則b的取值范圍[

3

2

，2]．