Question

6．求數(shù)列$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{{3}^{2}}$，$\frac{7}{{3}^{3}}$，$\frac{15}{{3}^{4}}$，…，$\frac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}}$的所有項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 利用$\frac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$可知所求值為以首項(xiàng)、公比均為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與以首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的差，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴所求值為$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$-2•$（\frac{2}{3}）^{n}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，分別利用等差、等比數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．