已知函數(shù)(其中).

(Ⅰ)求函數(shù)的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)求證:當(dāng)時(shí),.(說(shuō)明:e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)

 

【答案】

(Ⅰ)極小值為,無(wú)極大值(Ⅱ)(Ⅲ)問(wèn)題等價(jià)于.由(Ⅰ)知的最小值為.設(shè)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∴,

=,∴,∴,故當(dāng)時(shí),

【解析】

試題分析:(Ⅰ)

,),

,得,由,得

故函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)的極小值為,無(wú)極大值.  4分

(Ⅱ)函數(shù),

,

,∵,解得,或(舍去),

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞增.

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),

只需

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.   9分

(Ⅲ)問(wèn)題等價(jià)于.由(Ⅰ)知的最小值為

設(shè),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

,

=,

,∴,故當(dāng)時(shí),.  14分

考點(diǎn):函數(shù)極值最值

點(diǎn)評(píng):求函數(shù)極值最值都需要首先找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二問(wèn)將函數(shù)存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為最值邊界值的范圍,第三問(wèn)將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,這兩種轉(zhuǎn)化是函數(shù)綜合題中經(jīng)?嫉降

 

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已知函數(shù)f(x)=·,其中=(sinωx+cosωx,cosωx), =(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0).若f(x)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離不小于.

(1)求ω的取值范圍;

(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,a=,b+c=3(b>c),當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求邊b,c的長(zhǎng).

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已知,函數(shù),,(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為常數(shù)),

(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間與極值;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使得的最小值為3. 若存在,求出的值,若不存在,說(shuō)明理由。

 

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(本小題滿(mǎn)分14分)

已知函數(shù),.(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),

(Ⅰ)設(shè)曲線(xiàn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,求的值;

(Ⅱ)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)≥0,恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),是否存在實(shí)數(shù),使曲線(xiàn)C:在點(diǎn)

處的切線(xiàn)與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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.(14分)已知函數(shù),其中

(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值

(Ⅱ)若對(duì)任意的為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍

 

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已知函數(shù)(其中)的周期為π,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為

 (1)求的解析式;

(2)當(dāng)時(shí),求的最值

 

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