Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足：對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥2，f（1）=3； 若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）求f（0）的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，，n∈N^*，求證：f（a₁）+f（a₂）+∧+f（a_n）≤．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2，可求出f（0）的值．
（2）任取x₁x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，利用③證明f（x₂）-f（x₁））=f（x₂-x₁）-2≥0，即 f（x₂）≥f（x₁），得到f（x）≤f（1）=3．
（3）令n=1，得：a₁=1，n≥2，時(shí)，由a_n=s_n-s_n-1求出通項(xiàng)公式，得到f（a_n）與f（a_n-1）的關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，求出f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）的值．
解答：解：（1）令x₁=x₂=0，
由題意知f（0）=2f（0）-2⇒f（0）=2；
（2）任取x₁x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
則0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2-f（x₁）=f（x₂-x₁）-2≥0
∴f（x₂）≥f（x₁），則f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值為3；
（3）由 知，
當(dāng)
∴，∴
∴
≥
∴
∴
又f（a₁）-2=1∴，∴
∴．
點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，構(gòu)造法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．