Question

已知向量

p

=(2cosωx+2sinωx，f(x))，

q

=(1，cosωx)，ω＞0且

p

∥

q

，函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離是2π．
（1）求ω值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）設函數(shù)g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），若g（x）為偶函數(shù)，求g（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的平行，通過向量的坐標運算，二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期求ω值；
（2）利用增函數(shù)的單調性直接求解函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）設函數(shù)g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），求出g（x）的表達式，利用函數(shù)是偶函數(shù)，求出，然后求解g（x）的最大值及相應的x值．

解答：解：（1）∵

p

∥

q

，∴（2cosωx+2sinωx）cosωx-f（x）=0
得f（x）=（2cosωx+2sinωx）cosωx
=2cos²ωx+2sinωxcosωx
=1+cos2ωx+sin2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+1…（3分）
由題設可知，函數(shù)f（x）的周期T=4π，則ω=

1

4

…（4分）
（2）由（1）得f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+12kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，其中k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]（k∈Z）．…（7分）
（3）g(x)=f(x+φ)=

2

sin(

x+φ

2

+

π

4

)+1，∵g（x）為偶函數(shù)，
∴圖象關于y軸為對稱軸
將x=0代入，得sin(

φ

2

+

π

4

)=±1，則有

φ

2

+

π

4

=kπ+

π

2

⇒φ=2kπ+

π

2

又∵φ∈（0，π），∴φ=

π

2

，則g(x)=

2

sin(

x

2

+

π

2

)+1=

2

cos

x

2

+1…（10分）
當cos

x

2

=1，時，函數(shù)g（x）取得最大值

2

+1
此時

x

2

=2kπ⇒x=4kπ，其中k∈Z．…（12分）

點評：本題考查復合三角函數(shù)的單調性，三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力轉化思想．