Question

過x軸上一點P向圓C：x²+（y-2）²=1作切線，切點分別為A、B，則△PAB面積的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由圓的方程為求得圓心C（0，2）、半徑r為：1，設(shè)點P（a，0），利用兩點間距離公式求得PC=

a2+4

，利用勾股定理求得PA=PB=

a2+3

，解直角三角形求得sin∠APB，利用面積公式求得△PAB面積，利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求得△PAB面積的最小值．

解答：解：∵圓的方程為：：x²+（y-2）²=1
∴圓心C（0，2）、半徑r為：1
設(shè)點P（a，0），則PC=

a2+4

，PA=PB=

a2+3

，
sin∠APB=2

1

a2+4

×

a2+3

a2+4

=

2 a2+3

a2+4

，
∴s△PAB=

1

2

PA•PBsin∠APB=

(a2+3) a2+3

a2+4

，
令

a2+3

=t，t≥

3

，
∴s△PAB=

t3

t2+1

=

1

1 t + 1 t3

在（

3

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=

3

時，△PAB面積有最小值為

3 3

4

．
故答案為：

3 3

4

．

點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，以及解直角三角形和三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識，綜合性強，要求學(xué)生對知識掌握到位，并且你靈活應(yīng)用，求出三角形的面積后，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最小值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和函數(shù)的思想，也很好的考查了運算能力．此題屬難題．