Question

已知定義域為R的函數f（x）=

2x+b

2x+1

是奇函數．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（2t²-3t）+f（t²-m）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）直接利用定義在實數集上的奇函數的性質，即f（0）=0求b的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的b值代入，然后利用函數單調性的定義證明；
（Ⅲ）由函數的性質把不等式f（2t²-3t）+f（t²-m）＞0轉化為2t²-3t＞m-t²，再由判別式小于0求得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f（0）=0，即

1+b

1+1

=0，解得b=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

2x-1

2x+1

，
設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
由x₁＜x₂，得2x1＜2x2，
∴2x1-2x20，2x2+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是增函數；
（Ⅲ）∵f（x）是奇函數，
∴f（2t²-3t）+f（t²-m）＞0化為f（2t²-3t）＞-f（t²-m）=f（m-t²）．
∵f（x）是增函數，
∴2t²-3t＞m-t²，
即3t²-3t-m＞0對任意的t∈R恒成立．
∴△=（-3）²-4×3×（-m）＜0，解得m＜-

3

4

．
∴所求m的取值范圍是(-∞，-

3

4

)．

點評：本題考查了函數單調性和奇偶性的性質，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用判別式法求解恒成立問題，是中檔題．