Question

（2012•江蘇一模）已知向量

a

=(4，5cosα)，

b

=(3，-4tanα)，α∈(0，

π

2

)，

a

⊥

b

，求：
（1）|

a

+

b

|
（2）cos(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：由兩向量的坐標(biāo)，以及兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡后，求出sinα的值，由α的范圍，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，
（1）由兩向量的坐標(biāo)求出

a

+

b

的坐標(biāo)表示，把cosα和tanα的值代入即可求出|

a

+

b

|的值；
（2）把所求的式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將sinα和cosα的值代入即可求出值．

解答：解：∵

a

=(4，5cosα)，

b

=(3，-4tanα)，

a

⊥

b

，
∴12-20cosαtanα=12-20sinα=0，
∴sinα=

3

5

，又α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，tanα=

3

4

，
（1）∵

a

=(4，4)，

b

=(3，-3)，
∴

a

+

b

=（7，1），
則|

a

+

b

|=

72+12

=

50

=5

2

；
（2）∵sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，
則cos（α+

π

4

）=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

2

2

（

4

5

-

3

5

）=

2

10

．

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，向量模的計(jì)算，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．