Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB和BC的中點，試問在棱DD₁上能否找到一點M，使BM⊥平面B₁EF？若能，確定點M的位置；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：B作BG⊥B₁E交AA₁于G，過G作GM∥AD交DD₁于M，連BM，欲證BM⊥平面B₁EF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BM與平面B₁EF內(nèi)兩相交直線垂直，EF⊥BM，BM⊥B₁E，EF∩B₁E=E，滿足定理要求．
解答：解：作法：①B作BG⊥B₁E交AA₁于G；
②過G作GM∥AD交DD₁于M；
③連BM，則BM即為所求作
證明：連BD正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)為AB和BC的中點
∴BD⊥AC，又DD₁⊥面ABCD
∴AC⊥面BDM，而EF∥AC
∴EF⊥面BDM，則EF⊥BM
又∵GM∥AD∴GM⊥面ABB₁A₁而BG⊥B₁E∴BM⊥B₁E
又EF∩B₁E=E∴BM⊥平面B₁EF
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．