Question

巳知函數(shù)f（x）=x1nx，g（x）=

1

3

ax²-bx，其中a，b∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0，且a為常數(shù)時，若函數(shù)h（x）=x[g（x）+1]對任意的x₁＞x₂≥4，總有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0成立，試用a表示出b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)b=-

2

3

a時，若f（x+1）≤

3

2

g（x）對x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（II）由函數(shù)h（x）=x[g（x）+1]對任意的x₁＞x₂≥4，總有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0成立，可得函數(shù)h（x）=

1

3

ax3-bx2+x在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增．因此h′（x）=ax²-2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．變形為2b≤

ax2+1

x

=ax+

1

x

在[4，+∞）上恒成立?2b≤(ax+

1

x

)min，x∈[4，+∞）．令u（x）=ax+

1

x

，x∈[4，+∞）．對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
（III）當(dāng)b=-

2

3

a時，令G（x）=f（x+1）-

3

2

g（x）=（x+1）ln（x+1）-

1

2

ax2-ax，x∈[0，+∞）．由題意G（x）≤0對x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1-ax-a，
x∈[0，+∞）．對a分類討論利用研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
∴函數(shù)f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減；在(

1

e

，+∞)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

1

e

時，f（x）取得最小值．且f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（II）由函數(shù)h（x）=x[g（x）+1]對任意的x₁＞x₂≥4，總有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴函數(shù)h（x）=

1

3

ax3-bx2+x在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h′（x）=ax²-2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．
∴2b≤

ax2+1

x

=ax+

1

x

在[4，+∞）上恒成立?2b≤(ax+

1

x

)min，x∈[4，+∞）．
令u（x）=ax+

1

x

，x∈[4，+∞）．（a＞0）．
則u′(x)=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

．
令u′（x）=0，解得x=

a

a

．
∴u（x）在(0，

a

a

)上單調(diào)遞減，在(

a

a

，+∞)上單調(diào)遞增．
（i）當(dāng)

a

a

＞4時，即0＜a＜

1

16

時，u（x）在[4，

a

a

)上單調(diào)遞減，在(

a

a

，+∞)上單調(diào)遞增．
∴u（x）_min=u(

a

a

)=2

a

，∴2b≤2

a

，即b≤

a

．
（ii）當(dāng)

a

a

≤4時，即a≥

1

16

，函數(shù)u（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2b≤u(4)=4a+

1

4

，即b≤2a+

1

8

．
綜上可得：當(dāng)0＜a＜

1

16

時，即b≤

a

．當(dāng)a≥

1

16

，b≤2a+

1

8

．
（III）當(dāng)b=-

2

3

a時，令G（x）=f（x+1）-

3

2

g（x）=（x+1）ln（x+1）-

1

2

ax2-ax，x∈[0，+∞）．
由題意G（x）≤0對x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1-ax-a，x∈[0，+∞）．
（i）當(dāng)a≤0時，G′（x）＞0，∴G（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴G（x）＞G（0）=0在x∈（0，+∞）成立，與題意矛盾，應(yīng)舍去．
（ii）當(dāng)a＞0時，令v（x）=G′（x），x∈[0，+∞）．
則v′(x)=

1

x+1

-a，

1

x+1

∈(0，1]，
①當(dāng)a≥1時，v′（x）≤0在x∈[0，+∞）上成立．
∴v（x）在x∈[0，+∞）單調(diào)遞減．
∴v（x）≤v（0）=1-a≤0，∴G′（x）在x∈[0，+∞）上成立．
∴G（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴G（x）≤G（0）=0在x∈[0，+∞）成立，符合題意．
②當(dāng)0＜a＜1時，v′(x)=

1

1+x

-a=

-a[x-( 1 a -1)]

x+1

，x∈[0，+∞）．
∴v（x）在[0，

1

a

-1)上單調(diào)遞增，在(

1

a

-1，+∞)單調(diào)遞減．
∵v（0）=1-a＞0，
∴v（x）＞0在[0，

1

a

-1)上成立，即G′（x）＞0在[0，

1

a

-1)上成立，
∴G（x）在[0，

1

a

-1)上單調(diào)遞增，
∴G（x）＞G（0）=0在(0，

1

a

-1)成立，與題意矛盾．
綜上可知：a的最小值為1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了轉(zhuǎn)化思想方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．