已知拋物線E：x2=4y．
（1）若直線y=x+1與拋物線E相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|弦長；
（2）已知△ABC的三個頂點(diǎn)在拋物線E上運(yùn)動．若點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，BC邊過定點(diǎn)N（0，2），點(diǎn)M在BC上且
AM
•
BC
=0，求點(diǎn)M的軌跡方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由
x2=4y
y=x+1
，得x2-4x-4=0，由此能求出張長|PQ|．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），BC邊所在的方程過定點(diǎn)N（0，2），所以
AM
=(x，y)，
MN
=(-x，2-y)，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
解答： 解：（1）由
x2=4y
y=x+1
，得x2-4x-4=0，…（2分）
△=16+16=32，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=4，x1x2=-4，
∴|PQ|=
2
42-4•(-4)
=8．…（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
∵BC邊所在的方程過定點(diǎn)N（0，2），
∴
AM
=(x，y)，
MN
=(-x，2-y)…（8分）
∵
AM
•
BC
=0，∴
AM
•
MN
=0，
∴-x•x+y（2-y）=0，即y2+x2-y=0（y≠0），
∴點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2-y=0，（y≠0）．…（14分）
（注：沒寫y≠0扣1分）
點(diǎn)評：本題考查弦長的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c滿足對?x∈R，都有f（x-2）=f（-x-2），且方程f（x）+1=0有重根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)an=
f(n)+2
f(n)
（n∈N*），求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=2，an=an-1+2n（n≥2）
（1）求這個數(shù)列的通項公式an
（2）若{
1
an
}的前n項和為Sn，求出Sn并證明
1
2
≤Sn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a1=3，公差為d，其前n項和為Sn，在等比數(shù)列{bn} 中，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，
S2
b2
=3．
（1）求an與bn；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=
3
Sn
，求{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項的和為Sn=n（n+1）
（1）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
（2）求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）+sin（2x-
π
6
）+2cos2x，（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；    
（2）求使f（x）≥2的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1+a2+a3=15，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，b1b2b3=27，且a1=b2，a4=b3．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）數(shù)列{cn}滿足cn=2an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：我們把橢圓的焦距與長軸的長度之比即e=
c
a
，叫做橢圓的離心率．若兩個橢圓的離心率e相同，稱這兩個橢圓相似．
（1）判斷橢圓C1：
x2
100
+
y2
25
=1與橢圓C2：
x2
4
+y2=1是否相似？并說明理由；
（2）若橢圓Γ1：
x2
a2
+
y2
4
=1（a＞2）與橢圓Γ2：
x2
8
+
y2
16
=1相似，求a的值；
（3）設(shè)動直線l：y=kx+6與（2）中的橢圓Γ1交于M、N兩點(diǎn)，試探究：在橢圓Γ1上是否存在異于M、N的定點(diǎn)Q，使得直線QM、QN的斜率之積為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f（ex）=ex+x，則f（x）在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程為
 
．

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同步練習(xí)冊答案