已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。

（1）（2）（3）

解析試題分析：(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),
由      得
又點(diǎn)P在橢圓上,得,
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是
(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),設(shè)該直線方程為y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.
∴S△ABC的最大值是
考點(diǎn)：橢圓方程幾何性質(zhì)，直線與橢圓相交問(wèn)題及軌跡方程
點(diǎn)評(píng)：第二問(wèn)中求軌跡方程用到的是相關(guān)點(diǎn)法，即設(shè)出所求點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化到已知條件中的點(diǎn)然后代入已知橢圓方程；第三問(wèn)需注意討論直線斜率存在不存在兩種情況，其中求最值用到了均值不等式，此題有一定的難度

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線與橢圓+=1有公共的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，它們的交點(diǎn)中一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

己知橢圓的離心率為，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是橢圓的上下頂點(diǎn)，四邊形的面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）圓過(guò)兩點(diǎn)．當(dāng)圓心與原點(diǎn)的距離最小時(shí)，求圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點(diǎn)是F1(0，-1)，F(xiàn)2(0,1)，離心率e=
(1)求橢圓方程；(2)若P在橢圓上，且|PF1|-|PF2|=1，求cos∠F1PF2。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知直線l：x=my+1過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．（1）橢圓C的方程；（2）直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ1+λ2的值是否為定值？若是，求出λ1+λ2的值，否則，說(shuō)明理由；（3）接AE、BD，試證明當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓的右頂點(diǎn)．
（�。┤糁本�l斜率k=1，求△ABP的面積；
（ⅱ）若直線AP，BP的斜率分別為，，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知A，B兩點(diǎn)在拋物線C：x2＝4y上，點(diǎn)M(0,4)滿足＝λ.
(1)求證：；
(2)設(shè)拋物線C過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)N.
(ⅰ)求證：點(diǎn)N在一條定直線上；    
(ⅱ)設(shè)4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線，為上任意一點(diǎn)；
（1）求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；
（2）設(shè)點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題共12分）
如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）若過(guò)點(diǎn)B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

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