Question

下面有五個命題：其中真命題的序號是

 

①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是2π；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈z}；
③在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有一個公共點；
④函數(shù)y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是增函數(shù)．
⑤把函數(shù)y=3sin(2x+

π

3

)的圖象向又平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．

Answer 1

分析：①利用平方差公式把函數(shù)解析式變形，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關系及二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期，即可做出判斷；
②終邊在y軸上的角可以是與y軸的正半軸重合，也可以與y軸負半軸重合，故本選項為假命題；
③構造新函數(shù)g（x）=sinx-x，求出g（x）的導函數(shù)，得到導函數(shù)小于等于0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，且g（0）=0，即可得到g（x）=0僅有一個根為0，從而得到y(tǒng)=sinx與y=x圖象有一個交點，本選項為真命題；
④根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，求出x的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)[0，π]是求出的單調(diào)遞增區(qū)間的子集，可得本選項為真命題；
⑤根據(jù)平移規(guī)律“左加右減”，根據(jù)題意把函數(shù)解析式變形，化簡后即可作出判斷．

解答：解：①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，本選項為假命題；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=

kπ

2

或-

kπ

2

，k∈z}，本選項為假命題；
③令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0，
所以g（x）為減函數(shù)，且g（0）=0，
所以g（x）=0僅有一個根0，
所以在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有一個公共點，本選項為真命題；
④函數(shù)y=sin(x-

π

2

)，令x-

π

2

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，解得x∈[2kπ，2kπ+π]，
∵[0，π]是[2kπ，2kπ+π]的子集，
∴函數(shù)y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是增函數(shù)，本選項為真命題；
⑤把函數(shù)y=3sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

得到：y=3sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x，本選項為真命題，
則真命題的序號有：③④⑤．
故答案為：③④⑤

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，終邊相同的角的表示法，二倍角的余弦函數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及三角形函數(shù)的平移規(guī)律，綜合性比較強，要求學生掌握知識要全面，靈活利用多種方法來解決問題．