Question

若函數(shù)f（x）滿足?m∈R，m≠0，對定義域內(nèi)的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，則稱f（x）為m函數(shù)，現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①；　 ②y=2x；③y=sinx；④y=1nx
其中為m函數(shù)的序號是________．（把你認(rèn)為所有正確的序號都填上）

Answer 1

②③
分析：根據(jù)m函數(shù)定義逐項判斷即可．
解答：①若，則由f（x+m）=f（x）+f（m）得，即，
所以不存在常數(shù)m使f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以①不是m函數(shù)．
②若f（x）=2x，由f（x+m）=f（x）+f（m）得，2（x+m）=2x+2m，此時恒成立，所以②y=2x是m函數(shù)．
③若f（x）=sinx，由f（x+m）=f（x）+f（m）得sin（x+m）=sinx+sinm，所以當(dāng)m=π時，f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以③y=sinx是m函數(shù)．
④若f（x）=1nx，則由f（x+m）=f（x）+f（m）得ln（x+m）=lnx+lnm，即ln（x+m）=lnmx，所以x+m=mx，要使x+m=mx成立則有，所以方程無解，所以④y=1nx不是m函數(shù)．所以為m函數(shù)的序號是②③．
故答案為：②③
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生利用所學(xué)知識分析解決新問題的能力，屬中檔題．