Question

已知函數(shù)y=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x，x∈R．
（1）求函數(shù)的最大值及取最大值時x的取值集合；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，借助于輔助角公式，化簡函數(shù)解析式f（x）=2sin（

1

2

x+

π

3

），然后，借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解；
（2）直接根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵y=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x=2(

1

2

sin

1

2

x+

3

2

cos

1

2

x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)，
∴當(dāng)sin(

1

2

x+

π

3

)=1時，y取最大值，y_max=2，
此時 

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

， k∈Z，
即x=4kπ+

π

3

， k∈Z，
故y取最大值時x的集合為：
{x|x=4kπ+

π

3

， k∈Z}．
（2）由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

， (k∈Z)得：
4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7

3

π，k∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[4kπ+

π

3

，4kπ+

7

3

π](k∈Z)．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，注意k的取值情況，這是最容易遺漏的地方，也是失分點(diǎn)，本題屬于中檔題．