Question

某同學(xué)的數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題是：在校內(nèi)一塊不規(guī)則土地OABC（測(cè)繪圖如圖所示）規(guī)劃一個(gè)矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)AB⊥BC，OA∥BC，曲線段OC可近似看作是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段，OA=20m，AB=BC=40m．
（1）該同學(xué)在測(cè)繪圖上建立了以O(shè)為原點(diǎn)，直線AO為x軸的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)幫他計(jì)算曲線段OC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地BDEF的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)E落在曲線段OC上，該同學(xué)應(yīng)如何規(guī)劃才能使運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線段OC所在的拋物線方程，利用點(diǎn)C的坐標(biāo)為（20，40），即可求出拋物線的方程；
（2）設(shè)矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)在曲線段OC上的頂點(diǎn)（x，

1

10

x2），表示出矩形的面積S關(guān)于x的函數(shù)，利用求導(dǎo)即可求得使面積S最大時(shí)的x的值，則運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬可求．

解答： 解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)曲線段OC所在的拋物線方程為y=ax²（a＞0），

由已知得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（20，40），代入方程得：a=

1

10

．
∴拋物線的方程為y=

1

10

x2；
（2）設(shè)矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)在曲線段OC上的頂點(diǎn)（x，

1

10

x2），則矩形面積：
S=(20+x)(40-

1

10

x2)=-

1

10

x3-2x2+40x+800（0≤x＜20），
∴S′=-

1

10

(x+20)(3x-20)，
令S′=0，可得x=-20或x=

20

3

．
∵0≤x＜20，∴x=

20

3

．
當(dāng)0＜x＜

20

3

時(shí)，S′＞0；當(dāng)x＞

20

3

時(shí)，S′＜0．
∴x=

20

3

是S的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為

80

3

m．寬為

320

9

m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．