Question

設F₁，F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線交橢圓E于A，B兩點，
|AF₁|=3|BF₁|，且|AB|=4，△ABF₂的周長為16
（1）求|AF₂|；
（2）若直線AB的斜率為1，求橢圓E的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用|AF₁|=3|BF₁|，且|AB|=4，求出：|AF₁|=3，|F₁B|=1，根據△ABF₂的周長為16，結合橢圓的定義，即可求|AF₂|；
（2）若直線AB的斜率為1，設直線AB的方程為y=x+c，代入橢圓方程，利用|AF₁|=3|BF₁|知y₁=-3y₂，即可求橢圓E的方程．

解答： 解：（1）由|AF₁|=3|F₁B|，|AB|=4，得：|AF₁|=3，|F₁B|=1…1分
因為△ABF₂的周長為16，所以由橢圓定義可得4a=16，|AF₁|+|AF₂|=2a=8…3分
故|AF₂|=2a-|AF₁|=8-3=5…4分
（2）由（1）可設橢圓方程為

x2

16

+

y2

b2

=1，F₁（-c，0），其中c=

16-b2

設直線AB的方程為y=x+c，即x=y-c，…5分
代入橢圓方程得：b²（y-c）²+16y²=16b²…6分
整理得：（b²+16）y²-2b²cy-b⁴=0…8分
△=4b⁴c²+4b⁴（b²+16）=128b⁴
y₁=

2b2c+8 2 b2

2(b2+16)

，y₂=

2b2c-8 2 b2

2(b2+16)

…10分
由|AF₁|=3|BF₁|知y₁=-3y₂，
得2b2c+8b2

2

=-3(2b2c-8b2

2

)…12分
又由于c=

16-b2

解得c=2

2

，b²=8
所以橢圓的方程為

x2

16

+

y2

8

=1…14分

點評：本題考查橢圓的方程與定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．