Question

已知f（x）=lnx-

a

x

（a∈R）
（1）若a＜0且f（x）在[1，e]的最小值為

3

2

，求a的值；
（2）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=

x+a

x2

；討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定單調(diào)性，從而求最小值，從而求a；
（2）f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立可化為a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立；令F（x）=xlnx-x³，從而化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答： 解：（1）f′（x）=

x+a

x2

；
①當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
故f（1）=0-a=

3

2

，故a=-

3

2

（舍去）；
②當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，f（x）在[1，e]上先減后增，
故f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，故a=-

e

；
③當(dāng)a≤-e時(shí)，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
故f（e）=1-

a

e

=

3

2

，故a=-

e

2

（舍去）；
故a=-

e

；
（2）f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立可化為
a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立；
令F（x）=xlnx-x³，
則F′（x）=lnx+1-3x²，
 F″（x）=

1

x

-6x；
當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)″（x）＜0；
故F′（x）=lnx+1-3x²在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故F′（x）＜F′（1）=0+1-3＜0；
故F（x）=xlnx-x³在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故F（x）＜0-1=-1；
故a≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．