Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x，設(shè)f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首項(xiàng)和公差都等于1的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{b_n}滿足bn=an+3n(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列；
（2）令cn=

2n-1

an

，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求證：S_n＜3．

Answer 1

分析：（1）由題意求出an=2n，從而求得bn=2n+3n，假設(shè)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，則有 b22=b1b3．經(jīng)過(guò)計(jì)算可得
b22≠b1b3，與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，從而證得要證的結(jié)論成立．
（2）由條件求得Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，用錯(cuò)位相減法求出它的值．

解答：解：（1）由題意可得 f（a_n）=n=log₂a_n，∴an=2n，故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
假設(shè)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，bn=2n+3n，則有 b22=b1b3．
由因?yàn)?b22=132，b1b3=5×35，∴b22≠b1b3，與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立．
∴數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列．（6分）
（2）∵cn=

2n-1

an

，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，…①
∴

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，…②，
①-②得

1 2 Sn= 1 2 + 2 22 + 2 23 + 2 24 +…+ 2 2n - 2n-1 2n+1

 
=

1 2 +( 1 21 + 1 22 + 1 23 +…+ 2 2n-1 )- 2n-1 2n+1

=

1 2 + 1 2 [1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 - 2n-1 2n+1 = 1 2 +1-( 1 2 )n-1- 2n-1 2n+1 = 3 2 - 2n+3 2n+1

，
∴Sn=3-

2n+3

2n

＜3．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比關(guān)系的確定，用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于中檔題．