【題目】設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=na1+(n﹣1)a2+…+2an1+an , n∈N* , 已知b1=m, ,其中m≠0.
(1)求數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比;
(2)當(dāng)m=1時,求bn;
(3)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若對于任意的正整數(shù)n,都有Sn∈[1,3],求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由已知b1=a1

所以a1=m

b2=2a1+a2,

所以 ,

解得 ,

所以數(shù)列{an}的公比


(2)解:當(dāng)m=1時, ,

bn=na1+(n﹣1)a2++2an1+an①,

②,

②﹣①得

所以


(3)解:

因?yàn)? ,

所以,由Sn∈[1,3]得

,

注意到,當(dāng)n為奇數(shù)時

當(dāng)n為偶數(shù)時 ,

所以 最大值為 ,最小值為

對于任意的正整數(shù)n都有 ,

所以 ,2≤m≤3.

即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤3}.


【解析】(1)由已知中數(shù)列{an}為等比數(shù)列,我們只要根據(jù)bn=na1+(n﹣1)a2+…+2an1+an , n∈N* , 已知b1=m, ,求出a1 , a2然后根據(jù)公比的定義,即可求出數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比.(2)當(dāng)m=1時,結(jié)合(1)的結(jié)論,我們不難給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并由bn=na1+(n﹣1)a2+…+2an1+an , n∈N*給出bn的表達(dá)式,利用錯位相消法,我們可以對其進(jìn)行化簡,并求出bn;(3)由Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,及(1)的結(jié)論,我們可以給出Sn的表達(dá)式,再由Sn∈[1,3],我們可以構(gòu)造一個關(guān)于m的不等式,解不等式,即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.在解答過程中要注意對n的分類討論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的定義和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題.

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A.15
B.18
C.21
D.24

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A. B. C. D.

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(1)求橢圓的方程;

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