Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減．（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解：函數(shù)的定義域是，

，

①當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減．

（2）證明：設(shè)，

所以，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

所以在處取得最大值．

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

所以函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，一個(gè)零點(diǎn)比1小，一個(gè)零點(diǎn)比1大．

不妨設(shè)，

由，且，得，且，

則，所以，

所以，令，，

．，，，

所以，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以．