Question

若x，y滿足

x+y≥2 2x-y≤4 x-y≥0

（1）求z=|x-2y-2|的最大值；
（2）求z=x²+y²的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出平面區(qū)域，設(shè)x-2y-2=m，利用數(shù)形結(jié)合先求出m的取值范圍，即可求z=|x-2y-2|的最大值；
（2）利用z=x²+y²的幾何應(yīng)用，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)x-2y-2=m，
則y=

1

2

x-

1

2

(2+m)，
平移直線y=

1

2

x-

1

2

(2+m)，由圖象可知當(dāng)直線y=

1

2

x-

1

2

(2+m)經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）時(shí)，
直線y=

1

2

x-

1

2

(2+m)的截距最小，此時(shí)m最大為m=2-2=0，
當(dāng)y=

1

2

x-

1

2

(2+m)經(jīng)過A時(shí)，y=

1

2

x-

1

2

(2+m)的截距最大，此時(shí)m最小．
由

2x-y=4 x-y=0

解得

x=4 y=4

，即A（4，4），
此時(shí)m=4-2×4-2=-6，
∴-6≤m≤2，
即z=|m|∈[0，6]，
即z=|x-2y-2|的最大值是6；
（2）z=x²+y²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
由圖象可知當(dāng)點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，z值最小，
由

x-y=0 x+y=2

，解得

x=1 y=1

，
即C（1，1），此時(shí)z=1²+1²=2，
由圖象可知當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)A（4，4）時(shí)，z值最大，
此時(shí)z=4²+4²=32．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．