Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦點為F₁、F₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關(guān)于直線l的對稱點，設(shè)

AM

=λ

AB

．
（Ⅰ）證明：λ=1-e²；
（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標(biāo)分別是（-

a

e

，0）（0，a）．由題設(shè)知點M的坐標(biāo)是（-c，

b2

a

）．由

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）．從而解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有

1

2

|PF₁|=c．由題設(shè)知當(dāng)λ=

2

3

時，△PF₁F2為等腰三角形．

解答：解：（Ⅰ）因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標(biāo)分別是（-

a

e

，0）（0，a）．
由

y=ex+a x2 a2 + y2 b2 =1

得

x=-c y= b2 a

．這里c=

a2+b2

．
所以點M的坐標(biāo)是（-c，

b2

a

）．由

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）．
即

a e -c=λ a e b2 a =λa

．解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，
要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

1

2

|PF₁|=c．
設(shè)點F₁到l的距離為d，
由

1

2

|PF₁|═d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=

|a-ec|

1+e2

=c，
得

1-e2

1+e2

=e．
所以e²=

1

3

，于是λ=1-e²=

2

3

．
即當(dāng)λ=

2

3

時，△PF₁F2為等腰三角形．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細求解，合理地運用公式．