Question

已知圓C：x²+y²-4x+6y+4=0．
（1）將圓C的方程化為標準方程并指出圓心C的坐標以及半徑的大�。�
（2）過點P（-1，1）引圓C的切線，切點為A，求切線長|PA|；
（3）求過點P（-1，1）的圓C的切線方程．

Answer 1

分析：（1）利用配方法把圓C方程的左邊變形后，將圓C的方程化為標準方程，從標準方程中即可得到圓心C的坐標和圓的半徑；
（2）由P和C的坐標，利用兩點間的距離公式求出|PC|的長，得到|PC|小于半徑r，即P在圓外，根據(jù)切線的性質及勾股定理，由|PC|及r的值，即可求出切線長|PA|的長；
（3）分兩種情況考慮：當滿足題意的切線方程的斜率不存在時，顯然x=-1滿足題意；當斜率存在時，設切線方程的斜率為k，由P的坐標和k表示出切線的方程，根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，確定出此時切線的方程，綜上，得到所有滿足題意的切線方程．

解答：解：（1）將圓C化為標準方程得：（x-2）²+（y+3）²=9，
∴圓心C（2，-3），半徑r=3；
（2）∵|PC|=

(2+1)2+(-3-1)2

=5＞3=r，
∴P在圓C外，
則|PA|=

|PC|2-r2

=4；
（3）當過P的圓C的切線方程的斜率不存在時，顯然x=-1滿足題意；
當斜率存在時，設切線的斜率為k，
∴切線方程為y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0，
∴圓心C到切線的距離d=r，即

|3k+4|

k2+1

=3，
解得：k=-

7

24

，
此時切線方程為：-

7

24

x-y-

17

24

=0，即7x+24y-17=0，
綜上，滿足題意的切線方程為x=-1或7x+24y-17=0、

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，切線的性質，勾股定理，以及直線的點斜式方程，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強的題．