Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為P，AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（x₀，0）．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x₀＞3；
（3）△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，說明理由．

Answer 1

（1）解：由題意，M（-1，0），
設(shè)斜率為k的直線方程為y=k（x+1）
代入拋物線方程，整理可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，
∴（2k²-4）²-4k⁴＞0且k≠0
∴-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）；
（2）證明：由（1）知，k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為P
∴P的橫坐標(biāo)為，
代入y=k（x+1），可得P的縱坐標(biāo)為
∴AB的垂直平分線方程為y-=-（x-）
令y=0可得x₀==+1
∵-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k²＜1且k≠0
∴
∴+1＞3，即x₀＞3；
（3）若△PEF能成為以EF為底的等腰三角形，則
由EF中點(diǎn)坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)相等，可得
∴．
分析：（1）設(shè)斜率為k的直線方程為y=k（x+1）代入拋物線方程，利用根的判別式，即可得到結(jié)論；
（2）求出AB的垂直平分線方程，令y=0，即可證得結(jié)論．
（3）利用EF中點(diǎn)坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)相等，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．