Question

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.

（1）求證：∥平面；（2）求證：；

（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

（1)祥見解析；（2）祥見解析；（3）存在滿足條件的.

【解析】

試題分析：（1）O是AD1的中點，連接OE，由中位線定理可得EO∥BD1，再由線面平行的判定定理可得BD1∥平面A1DE；

（2）由正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥平面ADD1A1，進而線面垂直的性質(zhì)定理得到AB⊥A1D，結(jié)合A1D⊥AD1及線面垂直的判定定理，可得A1D⊥平面AD1E，進而D1E⊥A1D；

（3）以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M（1，a，0）（0≤a≤2），分別求出平面D1MC的法向量和平面MCD的一個法向量，根據(jù)二面角D1-MC-D的大小為，結(jié)合向量夾角公式，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得M點的坐標(biāo)，進而求出AM長．

試題解析：（1)連結(jié)交于，連結(jié),因為四邊形為正方形，所以為的中點，又點為的中點，在中，有中位線定理有//，而平面，平面，

所以，//平面.

（2）因為正方形與矩形所在平面互相垂直，所以，，

而，所以平面，又平面，所以.

（3）存在滿足條件的.

依題意，以為坐標(biāo)原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，則，，，，，所，

易知為平面的法向量，設(shè)，所以平面的法向量為，所以，即，所以，取，

則，又二面角的大小為，

所以，解得.

故在線段上是存在點，使二面角的大小為，且.

考點：1．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；２．直線與平面平行的判定；３．空間向量求平面間的夾角.