Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=2，a²+b²+c²=4，且a＞b＞c，不等式ln（a²+2a）-a≥M恒成立，則M的最大值是（　�。�

• A、ln

  40

  9

  -

  4

  3

• B、ln

  16

  9

  -

  2

  3

• C、ln（8+4

  2

  ）-2

  2

• D、ln8-2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，由柯西不等式得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，將①②代入③可求得a的范圍，構(gòu)造函數(shù)f（a）=ln（a²+2a）-a（

2

3

＜a≤2）．
，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)f（a）的最小值．

解答： 解：由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，
由柯西不等式，得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，
將①②代入③得，2（4-a²）≥（2-a）²，解得-

2

3

≤a≤2，
又a＞b＞c，∴3a＞a+b+c=2，∴a＞

2

3

．
∴

2

3

＜a≤2．
令f（a）=ln（a²+2a）-a（

2

3

＜a≤2）．
則f′（a）=

( 2 +a)( 2 -a)

a2+2a

，
當(dāng)

2

3

＜a＜

2

時(shí)f′（a）＞0，當(dāng)

2

＜a≤2時(shí)f′（a）＜0，
∴f（

2

）為極大值，也為最大值，
f（a）_min=min{f（

2

3

），f（2）}，
而f（

2

3

）=ln

16

9

-

2

3

，f（2）=ln8-2，f（

2

3

）＞f（2），
∴f（a）_min=f（2），
∴M≤ln8-2，即M的最大值為ln8-2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：該題考查不等式的求解、函數(shù)恒成立等知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，利用已知條件求解a的范圍是解決本題的關(guān)鍵所在．