Question

若（1-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展開式中x^-4的系數(shù)為a_n，則

lim

n→∞

（

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于-4，求得r的值，即可求得展開式中的x^-4的系數(shù)a_n，再用裂項(xiàng)法求得

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

的值，從而求得所給式子的值．

解答： 解：（1-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•x^-2r，令-2r=-4，r=2，
故展開式中x^-4的系數(shù)為a_n=

C

2 n

=

n(n-1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

）．
則

lim

n→∞

（

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

）=

lim

n→∞

 2（

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

lim

n→∞

2（1-

1

n

）=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．